คณิตศาสตร์ ม.2 เศษส่วนของพหุนาม

เศษส่วนของพหุนาม

จากบทผ่าน ๆ มาเราเคยพบเศษส่วนที่เขียนได้ในรูป a / b เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์
ในทำนองเดียวกัน ถ้า P และ Q เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 จะเรียก P / Q ว่า เศษส่วนของพหุนามที่มี P เป็นตัวเศษและ Q เป็นตัวส่วน เช่น
18xy² / 6x²y เมื่อ 6x²y ≠ 0
x / (x - 2) เมื่อ x - 2 ≠ 0
(x - 5) / (x² - 7x) เมื่อ x² - 7x ≠ 0

นิพจน์ เช่น x⁴, 6x - 7 เป็นเศษส่วนของพหุนามเช่นกัน เพราะสมการเขียน x⁴ ได้เป็น x⁴ / 1 และเขียน 6x - 7 ได้เป็น (6x - 7) / 1 ซึ่งอยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนาม

เศษส่วนของพหุนามที่จะกล่าวต่อไปนี้ให้ถือว่าพหุนามที่เป็นตัวส่วนไม่เท่ากับ 0 ถึงแม้ว่าจะไม่ได้ระบุเงื่อนไขของพหุนามที่เป็นตัวส่วนไว้

พิจารณาเศษส่วนพหุนามต่อไปนี้
15x²y² / 3xy³ และ (2x + 4) / (x² + 2x)
เราเขียน 15x²y² / 3xy³ และ (2x + 4) / (x² + 2x) ในรูปเศษส่วนของพหุนามอีกแบบหนึ่งได้ดังนี้
15x²y² / 3xy³ = (5x)(3xy³) / (y)(3xy³)
15x²y² / 3xy³ = 5x / y
และ
(2x + 4) / (x² + 2x) = 2(x + 2) / x(x + 2)
(2x + 4) / (x² + 2x) = 2 / x
เรียก 5x / y ว่า เศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จของ 15x²y² / 3xy³
เรียก 2 / x ว่า เศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จของ (2x + 4) / (x² + 2x)

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

การคูณเศษส่วนของพหุนามทำได้เช่นเดียวกับการคูณเศษส่วน นั่นคือ
เมื่อมี P, Q, R และ S เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 และ S ≠ 0 จะได้ว่า
(P / Q) × (P / S) = (P × R) / (Q × S)

การหารเศษส่วนของพหุนามทำได้เช่นเดียวกันกับการหารเศษส่วน นั่นคือ
เมื่อมี P, Q, R และ S เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0, R ≠ 0 และ S ≠ 0 จะได้ว่า
(P / Q) ÷ (P / S) = (P / Q) × (S / R)

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนามทำได้เช่นเดียวกันกับการบวกและการลบเศษส่วน กล่าวคือ
เมื่อมี P, Q และ R เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 จะได้ว่า
(P / Q) + (R / Q) = (P + R) / Q และ (P / Q) - (R / Q) = (P - R) / Q