คณิตศาสตร์ ม.2 การแปรผกผัน

การแปรผกผัน

มีนิยามคือ ตัวแปรหนึ่งมีค่าเป็นส่วนกลับของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง สามารถเขียนในรูปสมการได้ว่า
y ∝ 1 / x
y = k / x โดย k คือค่าคงตัว

ให้นักเรียนพิจารณาตารางแสดงแบบรูปของความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใช้ในการเดินทางของรถยนต์คันหนึ่ง ซึ่งวิ่งเป็นระยะทาง 240 กิโลเมตร

ให้ y แทนอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์เป็นกิโลเมตรต่อชั่วโมง
t แทน เวลาที่ใช้ในการเดินทางเป็นชั่วโมงในระยะทาง 240 กิโลเมตร

จากตารางจะเห็นว่า เมื่ออัตราเร็วเฉลี่ย v ของรถยนต์เพิ่มขึ้น เวลา t ที่ใช้ในการเดินทางจะลดลงในอัตราที่ไม่คงตัว เมื่อพิจารณา t / v จะพบว่า ค่า t / v สำหรับ v และ t แต่ละคู่ที่หาได้ไม่เท่ากัน

ดังนั้น t ไม่แปรผกผันตรงกับ v แต่เมื่อพิจารณาค่า v × t จากตาราง จะเห็นว่า v × t เป็นค่าคงตัวเทากับ 240 สำหรับทุกคู่ของ v และ t

นั่นคือ ความสัมพันธ์ระหว่าง v และ t เขียนแสดงได้ด้วยสมการ vt = 240 หรือ t = 240 × 1/v

เนื่องจากเราสามารถหาเวลาที่ใช้ในการเดินทางได้เสมอ ไม่ว่าอัตราเร็วเฉลี่ยรถยนต์จะเป็นเท่าใดก็ตามที่มากกว่าศูนย์ จึงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาที่ใช้ในการเดินทางกับอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์ โดยให้แกนนอนแสดงค่า v และแกนตั้งแสดงค่า t ได้ดังรูป

ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์และเวลาที่ใช้ในการเดินทางดังกล่าวนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการแปรผัน

บทนิยาม
ให้ x และ y แทนปริมาณใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ y แปรผกผันกับ x เมื่อ y = k × (1 / x) โดยที่ k เป็นค่าคงตัว และ k ≠ 0

สมการ y = k × (1 / x) โดยที่ k เป็นค่าคงตัว และ k ≠ 0 เรียกว่า สมการแสดงการแปรผันของการแปรผกผัน เรียก k ว่า ค่าคงตัวของการแปรผัน และเขียนแทน y แปรผกผันกับ x ด้วย y ∝ 1 / x

จากความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใช้ในการเดินทาง ซึ่งแสดงด้วยสมการ vt = 240 หรือ t = 240 × (1 / v) ข้างต้น จะได้ว่า t แปรผกผันกับ v โดยมีสมการแสดงการแปรผันเป็น

t = 240 × (1 / v) และมีค่าคงตัวของการแปรผันเป็น 240