วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น หมายถึง การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นนั้น ได้แก่
การใช้กราฟ เป็นวิธีการที่เหมาะสมสำหรับระบบสมการเชิงเส้นบางระบบที่สามารถเห็นจุดตัดของกราฟได้อย่างชัดเจนและแม่นยำ หากเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่ยุ่งยาก หรือมีหลายสมการ การใช้กราฟในการหาคำตอบจะทำได้ยาก นอกจากว่าจะมีอุปกรณ์ทางเทคโนโลยีเข้ามาช่วย เช่น การใช้เครื่องคำนวณเชิงกราฟ การใช้คอมพิวเตอร์ เป็นต้น
การใช้สมบัติทางพีชคณิต เป็นวิธีการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยไม่ต้องใช้กราฟ แต่ใช้สมบัติต่าง ๆ ทางพีชคณิต
ในบทนี้เราจะกล่าวเฉพาะการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้สมบัติทางพีชคณิต
ในบทนนี้จะกล่าวถึงการแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งจะกล่าวเพียง 2 วิธี ดังต่อไปนี้
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทน
วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ด้วยวิธีการแทนให้ทำดังนี้
1. เลือกสมการใดสมการหนึ่งที่ง่ายต่อการค้นหา x ในรูปของ y(หรือการหา y ในรูปของ x)
2. นำผลที่ได้ไปแทนที่ตัวแปร x (หรือ y) ในสมการอื่นทุกสมการ ผลจากการแทนจะทำให้สมการสมการที่ได้ใหม่ไม่มีตัวแปร x (หรือ y) เหลือเพียงตัวแปร y (หรือ x) เพียงตัวเดียว
3. แก้สมการ หาค่า y (หรือ x) จากทุกสมการที่ได้ในขั้น (2)
- ถ้าค่า y (หรือ x) ที่ได้จากทุกสมการมีค่าเท่ากัน แล้ว ระบบสมการนี้จะมีคำตอบ
- ถ้ามีค่า Y (หรือ x) บางค่าไม่เท่ากัน แล้ว ระบบสมการนี้จะไม่มีคำตอบ
- ถ้าผลจากการแทนค่า ทำให้ได้สมการที่เป็นเท็จ แล้ว ระบบสมการนี้จะไม่มีคำตอบ
4. ถ้าระบบสมการเชิงเส้นนี้มีคำตอบ คำตอบที่ได้คือ (a, b) โดยที่ b เป็นค่า y ที่ได้จากขั้น (3) และ a เป็นค่า x ที่ได้จากการนำ b ไปแทนค่า y ในขั้น (1) เพื่อหาค่า x
ตัวอย่าง
จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
x - 2y = 9 (1)
4x - 3y = 6 (2)
วิธีทำ
จากสมการ (1) หาค่า x ในรูปของ y จะได้
x = 2y + 9 (3)
นำค่า x จาก (3) ไปแทน x ใน (2) จะได้
4(2y + 9) - 3y = 6 (4)
แก้สมการ (4) จะได้
8y + 36 - 3y = 6
y = -6
นำค่า y ไปแทนใน (3) จะได้
x = 2(-6) + 9
x = -3
ดังนั้น y = -6, x = -3 จะได้คู่อันดับ (-3, -6)
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร
การแก้สมการเชิงเส้นโดยการกำจัดตัวแปรนั้น เป็นวิธีการที่ทำให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัดเป็นจำนวนเดียวกัน หรือเป็นจำนวนตรงข้าม แล้วอาศัยสมบัติของการลบ หรือการบวกตามลำดับ จะทำให้ตัวแปรนั้นหมดไป จะได้สมการใหม่ที่เหลือตัวแปรเดียว แล้วแก้สมการหาค่าตัวแปรตัวนั้น
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีการดังกล่าว จำเป็นต้องอาศัยการดำเนินเบื้องต้น เพื่อสร้างระบบสมการเชิงเส้นชุดใหม่ ซึ่งเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเหมือนกับระบบสมการเชิงเส้นเดิมในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกระบบสมการเชิงเส้นเดิมกับระบบสมการเชิงเส้นใหม่ที่ได้จากการใช้การดำเนินการเบื้องต้นนี้ว่า เป็นระบบสมการที่สมมูลกัน
การดำเนินการเบื้องต้น ที่กล่าวถึง ประกอบด้วย
- การสลับกันระหว่างสมการสองสมการ
- การคูณสมการใดสมการหนึ่งด้วยค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์(คูณทั้งสองข้างของสมการ)
- การบวกหรือการลบระหว่างสมการสองสมการ
ตัวอย่าง
จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
x - 2y = 9 (1)
4x - 3y = 6 (2)
นำ 4 ไปคูณในสมการ (1) เพื่อให้สัมประสิทธ์ที่นำหน้า x มีค่าเท่ากันทั้งสองสมการ จะได้
4(x - 2y) = 4(9)
4x - 8y = 36 (3)
นำสมการ (2) มาลบกับสมการ (3) จะได้
4x - 3y = 6
-(4x - 8y = 36)
จะได้
5y = -30
y = -6
นำ Y ไปแทนในสมการไหนก็ได้ ในที่นี้จะแทนสมการ (1) จะได้
x - 2(-6) = 9
x + 12 = 9
x = -3
ดังนั้น y = -6, x = -3 จะได้คู่อันดับ (-3, -6)
