คณิตศาสตร์ ม.4 สับเซต

สับเซต

การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B หรือ A ⊆ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

บทนิยามของสับเซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ เรากล่าวว่า A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A ⊂ B

เช่น
A = {1, 2, 3}
B = {4, 3, 2, 1}
จะได้ A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

C = {1, 5, 7}
D = {7, 5, 1}
จะได้ C ⊂ D เพราะสมาชิกทุกตัวของ C เป็นสมาชิกของ D

เซต A ไม่เป็นสับเซตของ B ถ้ามีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของ A ที่ไม่เป็นสมาชิกของ B
เขียนแทนด้วย A ⊄ B

เช่น A = {a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
จะได้ A ⊄ B เพราะว่า สมาชิกบางตัวของ A ได้แก่ b, c, d ไม่เป็นสมาชิกของ A
และจะได้ว่า B ⊄ A เพราะว่า สมาชิกบางตัวของ B ได้แก่ i, o, u ไม่เป็นสมาชิกของ B

ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าเซตใดเป็นสับเซตของเซตใดบ้าง
1) A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f}
2) A = {x / x เป็นจำนวนคู่}, B = {x / x = 2ⁿ และ n ∈ I+}

วิธีทำ
1) A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f}
ดังนั้น A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
2) A = {x / x เป็นจำนวนคู่}
ดังนั้น A = {0, ±2, ±4, ±6, ...}
B = {x / x = 2ⁿ และ n ∈ I+}
จาก x = 2ⁿ, n ∈ I+ จะได้ x = 2¹, 2², 2³, 24, ...
ดังนั้น B = {2, 4, 8, 16, ...}
ดังนั้น A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ B เป็นสมาชิกของ A

สับเซตแท้ (Proper Subset)

A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B แต่ A ≠ B

เช่น {a, i, o} เป็นสับเซตแท้ของ {a, e, i, o, u}
และ {a, e, i, o, u} เป็นสับเซตของ {a, e, i, o, u}

ข้อสังเกต
1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A ⊂ A
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต นั่นคือ A เป็นเซตใด ๆ แล้ว Ø ⊂ A
3. จำนวนสับเซตของเซต มีได้เท่ากับ 2ⁿ สับเซต เมื่อ n แทนจำนวนสมาชิกของเซต A
4. ถ้าเซตสองเซตเป็นสับเซตซึ่งกันและกัน กล่าวคือ A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A จะเท่ากับเซต B หรือ A = B