คณิตศาสตร์ ม.4 การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซต(Operation With set) เป็นการสร้างเซตขึ้นมาใหม่จากการนำเซตที่กำหนดให้ มาดำเนินการตามต้องการ ซึ่งจะมีการดำเนินการหลายแบบ เช่น ยูเนียนของเซต อินเตอร์เซกชันของเซต คอมพลีเมนต์ของเซต และผลต่าง

ยูเนียน(Union)

บทนิยาม
ถ้า A และ B เป็นเซต 2 เซตใด ๆ ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือสมาชิกของเซต B หรือสมาชิกของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A υ B

นั่นคือ A υ B {x / x ∈ A หรือ x ∈ B หรือ x เป็นสมาชิกทั้งสองเซต}

ตัวอย่าง กำหนดเซต A และ B จงหา A υ B
1) กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}
A υ B = {3, 4, 6, 7, 9}

2) กำหนด A = {6, 7, 8, 9}
B = {5, 7, 9}
A υ B = {5, 6, 7, 8, 9}

3) กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 5}
A υ B = {1, 2, 3, 4, 5}

4) กำหนดให้ A = {3, 6, 8}
B = {3, 6, 8}
A υ B = {3, 6, 8}

สมบัติที่สำคัญ เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A υ A = A
2. A υ U = U
3. A υ B = B υ A
4. (A υ B) υ C = A υ (B υ C)
5. A υ Ø = Ø υ A = A
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ A υ B = B
7. A ⊂ A υ B และ B ⊂ A υ B

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

บทนิยาม
ถ้า A และ B เป็นสองเซตใด ๆ อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือ เซตของสมาชิกที่ซ้ำกันของ A และ เซต B เขียนแทนด้วย A ∩ B

ตัวอย่าง กำหนด เซต A และเซต B จงหา A ∩ B
1) กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}
A ∩ B = {}

2) กำหนด A = {6, 7, 8, 9}
B = {5, 7, 9}
A ∩ B = {7, 9}

สมบัติที่สำคัญ เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A ∩ A = A
2. A ∩ U = A
3. A ∩ B = B ∩ A
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
5. A ∩ Ø = Ø ∩ A = Ø
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ A ∩ B = A
7. A υ (B ∩ C) = (A υ B) ∩ (A υ C)
8. A ∩ (B υ C) = (A ∩ B) υ (A ∩ C)

คอมพลีเมนต์ (Complement)

บทนิยาม
ถ้า A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง
กำหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {3, 5, 9}
A' = {1, 2, 4, 6, 7, 8}

สมบัติที่สำคัญ
1. Ø' = U, U' = Ø'
2. (A')' = A
3. (A ∩ B)' = A' υ B'
4. (A υ B)' = A' ∩ B'
5. A υ A' = U
6. A ∩ A' = Ø

ผลต่าง(Differnce)

บทนิยาม ถ้า A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง กำหนดเซต A และ B จงหา A - B และแรเงาแผนภาพแสดง A - B
กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}
A - B = {3, 9}

กำหนด A = {6, 7, 8, 9}
B = {5, 7, 9}
A - B = {6, 8}