การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ
พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดหรือพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2 เมื่อ n = 1, 2, 3 ซึ่งในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง an กับ n แล้วจึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์
หลักการในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับ
จากลำดับแบบแจงพจน์ที่กำหนดให้ เราสามารถใช้หลักการในการหาได้ ดังนี้
1. เขียนตำแหน่งของลำดับแต่ละค่าไว้
2. หาว่าค่าของลำดับในแต่ละค่ามีการเปลี่ยนแปลงค่าจากค่าตำแหน่งอย่างไร (ซึ่งอาจจะเปลี่ยนแปลงได้หลายแบบ เช่น บวกเพิ่ม ลบออก คูณเข้า หาร ยกกำลังด้วยจำนวนใดจำนวนหนึ่ง)
3. จากรูปแบบการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่ได้ใน (ข้อ 2) ให้เลือกเอารูปแบบการเปลี่ยนแปลงค่าในลักษณะเดียวกัน
4. นำผลที่ได้จาก (ข้อ 3) มาเปลี่ยนค่าตำแหน่งด้วย n จะได้พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ 3, 5, 7, 9, 11
จากโจทย์ จะได้
a1 = 3 = (2 x 1) + 1
a2 = 5 = (2 x 2) + 1
a3 = 7 = (2 x 3) + 1
a4 = 9 = (2 x 4) + 1
a5 = 11 = (2 x 5) + 1
ดังนั้น อนุกรมนี้จะมีพจน์ทั่วไป คือ 2n + 1
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ 2, 4, 6, 8, 10
จากโจทย์ จะได้
a1 = 2 = 2 x 1
a2 = 4 = 2 x 2
a3 = 6 = 2 x 3
a4 = 8 = 2 x 4
a5 = 10 = 2 x 5
ดังนั้น อนุกรมนี้จะมีพจน์ทั่วไป คือ 2n
ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ -1, 2, -3, 4, -5
จากโจทย์ จะได้
a1 = -1 = 1 x -1 = 1 x (-1)1
a2 = 2 = 2 x 1 = 2 x (-1)2
a3 = -3 = 3 x -1 = 3 x (-1)3
a4 = 4 = 4 x 1 = 4 x (-1)4
a5 = -5 = 5 x = -1 = 5 x (-1)5
ดังนั้น อนุกรมนี้จะมีพจน์ทั่วไป คือ n x (-1)n
